Пробуем решить две детские арифметические задачки позапрошлого века!
На этой известной картине изображён реальный человек. Это профессор Московского университета Сергей Александрович Рачинский.
В 70-х годах XIX века Рачинский неожиданно бросил карьеру, жильё в Москве и приличное профессорское жалование – и уехал в село Татево в Тверской области, чтобы преподавать математику крестьянским детям.
Кстати, автор картины, художник Николай Богданов-Бельский, был одним из учеников Сергея Александровича. А какую же задачу они решают? Давайте присмотримся...
Попробуете сделать то же самое, что делали крестьянские дети в конце позапрошлого века – решить эту задачу «в уме»? Подумайте! А пока ещё одна задачка – от писателя Антона Павловича Чехова.
В его рассказ «Репетитор» семиклассник Зиберов занимается с Петей Удодовым, готовя его к поступлению во второй класс гимназии. Там есть весьма любопытная задача...
«Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?»
Попробуем решить её так, как учит современный учебник алгебры. Пусть x – количество купленного синего сукна, а y – количество купленного чёрного сукна. Тогда составляем систему уравнений:
5x + 3y = 540
x + y = 138
Собственно, семиклассник Зиберов об этом догадывается:
– Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, — говорит он. — Ее с иксом и игреком решить можно.
Однако вот что интересно! В рассказе папа будущего второклассника Пети, купец Удодов, решает эту головоломную задачу без алгебры!
– И без алгебры решить можно, — говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая.
– Вот, извольте видеть...Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
– Вот-с... по-нашему, по-неученому.
Получается, что задача всё-таки арифметическая? Что её можно решить, обладая знаниями на уровне второго класса? Попробуйте догадаться, как купец Удодов решил задачу, не глядя в дальнейший текст...
Решение первой задачи
Итак, сначала разберём задачу профессора Рачинского. Решить эту задачу можно несколькими способами. Нам нравится красивое решение через арифметическую прогрессию: известно, что квадраты чисел 10, 11, 12, 13 и 14 отличаются друг от друга на числа, образующие прогрессию с разностью 2 – то есть 21, 23, 25 и 27. Поэтому
Ну а дальше делим 730 на 365 и получаем в ответе 2. Однако самое простое решение – через так называемые «последовательности Рачинского». Это красивое арифметическое открытие Сергей Александрович совершил самостоятельно и широко использовал для составления таких вот хитрых задач. Оказывается, что:
И так далее. В частности, сумма во второй строке равна 365. Тогда в задаче на картине на доске сверху в дроби, по сути, записано 365 + 365, а делим мы это всё на 365 – то есть в ответе получаем 2 буквально за считанные секунды!
Решение второй задачи
Предположим, что купец купил только синее сукно, все 138 аршин. Тогда он заплатил бы 138 х 5 = 690 рублей. А он заплатил только 540. Почему?
Потому что он купил не только дорогое синее сукно, но и более дешёвое чёрное. Разница в деньгах составляет 690 – 540 = 150 рублей.
А разница в цене между синим и чёрным сукном составляет 5 – 3 = 2 рубля. Делим 150 на 2 и получаем 75 аршин чёрного сукна.
Ну а оставшегося синего – совсем просто: 138 – 75 = 63.
Источник:
- Учитель из Австралии делает игрушки по рисункам учеников
- 10 фактов про мультфильм "Приключения кота Леопольда"
- 7 интересных фактов о мультфильмах Disney
- 20 коротких фактов про мультсериал "Смешарики"
- Школьный учитель, труды которого до сих пор под грифом «Секретно»
Переформулируем.
(12-2)^2+(12-1)^2+12^2+(12+1)^2+(12+2)^2
Возьмем первую и последнюю скобки раскроем их и приведем подобные, в результате получим: 2*12^2+8.
Для второй и четвертой скобки аналогично: 2*12^2+2.
И для всего выражения: 5*12^2+10.
12^2=144.
144*5=144*10/2=720.
720+10=730.
730/365=2.
Источник:
Пробуем решить две детские арифметические задачки позапрошлого века!
Если бы я не знала алгебры, то можно было решила так:
1. Если предположить, что купец купил бы поровну и черного, и синего сукна, то ему пришлось бы заплатить 552 рубля (69 5 + 69 3). Но так как он потратил 540 р, то ему бы не хватило 12 рублей
2. Так как разница между ценами 2 рубля, то считаем на сколько меньше дорого нужно брать (12/2 = 6). Мы как бы забираем у дорогого количество аршин, высвобождая остатки из-за разницы для докупки дешевого. Итак, 69 - 6 = 63 синего, и 69 + 6 = 75 черного.
Итог: шли немного по другому, но результат тот же. (Сложнее объяснить как я это делала)
Короче, даны натуральные числа от 0 до 9. Нужно составить из них число так, чтобы число из первых двух разрядов делилось на два, из первых трех - на три, из четырех - на четыре и так далее, все число должно делиться на 10, соответственно.
Ну и, короче говоря, помню, времени у меня оставалось минут 40. Я нарвал мелких листочков 9 штук, написал на них цифры от 1 до 9 (с нулем был ясен хрен, он должен стоять крайним). Ну и стал их крутить-вертеть на столе, решаю задачу методом ... даже не дубового перебора, а фактически играя в угадайку.... И самое интересное, минут за 5 до конца я таки нашел эту комбинацию. У меня все сошлось. Я написал ответ в листок, написал к себе в черновик. Сдал листок и ретировался.
Дома с дедом моим (а он был физик и математик) стали разбирать задачи. Оказалось. что я все вроде решил верно. И эту дубовую задачу решил верно. И тут мне дед говорит - посмотри, здесь есть закономерность, видишь??? Я смотрел, но так и не понял. И он мне показал... К сожалению, за давностью лет я эту закономерность уже и не вспомню... Но задача была интересная.
Еще более интересно было то, что мне потом учительница в школе сказала, что эту задачу никто кроме меня не решил, я был один. Остальные задания я тоже вроде бы решил верно. Но никакого места мне не дали... Больше я в олимпиадах не участвовал.
"И ни один уважающий себя учитель, не возьмет на репетиторство ребенка, которого он сам учит, даже из своей школы, не возьмет. Простите, но этика не позволяет." - у нас в лицее это как "здрасьте".
""А почему бы Вам, индивидуально не заниматься с учениками, просто так?"- ессно бред, но у нас были доп занятия для углубленного занятия по предмету, но не индивидуальные, а группами, там оставалось человек 10 на них. никто не говорит про бесплатно. просто для того, чтобы получать за это деньги учителю надо тонну бумаги + получает он только часть оплаченных денег, поэтому , когда я спросил учителя "Будут ли платные доп занятия?" , мне сказали про бумаги, про оформление, про геморой со сбором денег с учеников и, как итог, что лучше это время потратить на репетиторство.
я ж тоже не придумываю. тоже всё из жизни. и да, про разницу в учителях я понимаю оооооооочень хорошо, просто потому, что помню, как учили меня.
Зачем сложно, когда можно просто?!
10^2+(10+1)^2+(10+2)^2+.... а далее просто через a^2+2ab+b2 это раскладываетчя на очень простые арифм операции, ну все умножения легкие.
10*10=100
11*11=10*10+21*1=100+21
12*12=10*10+22*2=100+44
13*13=10*10+23*3=100+69
14*14=10*10+24*4=100+96
откуда взялись 21*1, 22*2, 23*3, 24*4 ?
11 в квадрате - отделяем первую 1 - остается 1 в квадрате - читаем в обратном порядке - получаем 21 и умножаем на основную цифру (1)
12 в квадрате - отделяем первую 1 - остается 2 в квадрате - читаем в обратном порядке - получаем 22 и умножаем на основную цифру (2)
13 в квадрате - отделяем первую 1 - остается 3 в квадрате - читаем в обратном порядке - получаем 2 и умножаем на основную цифру (3)
14 в квадрате - отделяем первую 1 - остается 4 в квадрате - читаем в обратном порядке - получаем 24 и умножаем на основную цифру (4)
хз как я это срастил, но сработало)))))))
730/365 = 2
Он поехал сельским детишкам мозги заканифолить своими прогрессиями?
В удобные пары скомпоновал. Дальше все просто.
П.С. Квадраты чисел со школы, да и не сложно их в уме посчитать в любой момент.
И дальше не считать.
- Скажыте дэти, сколко будэт "дважды два"? Атвичай, Дато!
- Восэм!
- Нэт, Дато, ти нэ прав! "Дважды два" будэт читыре! Максымум - пят. В самом крайнем слючае - шест! Но никак нэ сэм-восэм!
А я так решала:
100+(110+11)+(120+12+12)+(130+13+13+13)+(140+14+14+14+14)
Вначале в уме складываем трехзначные цифры, получаем 600, а потом двузначные (вначале десятки, потом единицы), получаем 130. Итого 730.
Школьник
Ну, пошел же, ради бога!
Небо, ельник и песок
Невеселая дорога…
Эй! садись ко мне, дружок!
Ноги босы, грязно тело,
И едва прикрыта грудь…
Не стыдися! что за дело?
Это многих славный путь.
Вижу я в котомке книжку.
Так учиться ты идёшь…
Знаю: батька на сынишку
Издержал последний грош.
Знаю: старая дьячиха
Отдала четвертачок,
Что проезжая купчиха
Подарила на чаек.
Или, может, ты дворовый
Из отпущенных?.. Ну, что ж!
Случай тоже уж не новый
Не робей, не пропадёшь!
Скоро сам узнаешь в школе,
Как архангельский мужик
По своей и божьей воле
Стал разумен и велик.
Не без добрых душ на свете
Кто-нибудь свезет в Москву,
Будешь в университете
Сон свершится наяву!
Там уж поприще широко:
Знай работай да не трусь…
Вот за что тебя глубоко
Я люблю, родная Русь!
Не бездарна та природа,
Не погиб еще тот край,
Что выводит из народа
Столько славных то и знай,
Столько добрых, благородных,
Сильных любящей душой,
Посреди тупых, холодных
И напыщенных собой!
...А задачку я решал только с помощью калькулятора